Tunjukan Dengan Pendekatan Nilai Pada Limit Fungsi Berikut

216
Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Setelah mengikuti pembelajaran limit fungsi,

siswa mampu:
3.7 Menjelaskan limit fungsi aljabar (fungsi

polinom dan fungsi rasional) secara

intuitif dan sifat-sifatnya, menentukan

eksistensinya.
4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan limit fungsi aljabar.
3.9

Menjelaskan limit fungsi aljabar (fungsi

polinom dan fungsi rasional) secara

intuitif dan sifat-sifatnya, menentukan

eksistensi dan menghitungnya.
4.9

Menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan limit fungsi aljabar.
Melalui pembelajaran materi limit fungsi, siswa

memperoleh pengalaman belajar:
•


Mampu berpikir kreatif.
•


Mampu berpikir kritis dalam mengamati

permasalahan.
•


Mengajak untuk melakukan penelitian

dasar dalam membangun konsep.
•


Mengajak kerjasama tim dalam

menemukan solusi permasalahan.
•


Mengajak siswa untuk menerapkan

matematika dalam kehidupan sehari-hari.
•


Siswa mampu memodelkan permasalahan.
Limit Fungsi
Kompetensi Dasar

Pengalaman Belajar
•


limit fungsi
•

pendekatan (kiri dan kanan)
•

bentuk tentu

•

bentuk tak tentu
Istilah Penting

A.

Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar
BAB
6

217
MATEMATIKA

B.

Diagram Alir
Fungsi
Materi
Prasyarat
Masalah
Autentik
Fungsi

Aljabar
Domain
Range
Limit Fungsi

Aljabar
Limit Fungsi

Pada Suatu

Titik
Sifat Limit

Fungsi Aljabar

218
Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Dalam kehidupan sehari-hari, berbagai permasalahan yang kita hadapi

dapat melahirkan berbagai konsep matematika. Dengan ditemukan konsep

umum matematika maka kita mampu menyelesaikan kembali permasalahan

yang serupa. Sebagai contoh, pengamatan yang dilakukan pada respon tubuh

yang sedang alergi terhadap suatu zat dengan tingkat dosis obat antibiotik.

Berdasarkan data yang diperoleh, memungkinkan ditemukan suatu model

batas dosis pemakaian antibiotik tersebut. Dengan demikian, masalah alergi

yang serupa dapat diatasi bila terjadi kembali. Percobaan yang kita lakukan

adalah sebuah konsep pendekatan terhadap solusi permasalahan tersebut. Jadi,

konsep dapat kita peroleh dengan mengamati, mencoba, menganalisis data,

dan menarik kesimpulan. Perhatikan ilustrasi berikut.
Seseorang memandang di

kejauh

an jalan raya yang lurus. Dia

melihat kendaraan yang melintas

bergerak semakin jauh dan ukuran

kendaraan juga seakan-akan

semakin kecil. Ini menandakan

bahwa kita mempunyai jarak

pandang yang terbatas. Bukan hanya

jarak pandang yang mempunyai

batas, melainkan banyak hal seperti,

ambang batas pendengaran, batas

kemampuan memikul beban, batas

kemampuan masyarakat membeli

barang tertentu, dan lain-lain.

Jadi, kita akan memulai pelajaran ini dengan mengkaji istilah “batas”

terlebih dahulu. Kasus-kasus apa saja dalam kehidupan sehari-hari yang

mempunyai keterbatasan? Coba amati! Sebagai contoh, ambang batas

pendengaran, batas kemampuan memikul beban, batas kemampuan masyarakat

membeli barang tertentu, dan lain-lain.


C.

Materi Pembelajaran
Gambar 6.1
: Jalan raya
Sumber: http://www.grahakartikapesona.com

219
MATEMATIKA
Gambar 6.2
: Sketsa badan jalan
Mari kita kaji lebih jauh Gambar 6.1 di atas. Misalkan kita lukis kembali

badan jalan tersebut lebih sederhana pada Gambar 6.2.
Secara visual pada gambar, badan jalan semakin

sempit untuk jarak pandang semakin jauh.

Perhatikan, jarak bahu jalan dari kiri dan kanan

menyempit menuju tengah jalan. Ada batas ukuran

lebar jalan menyempit dari kiri dan kanan ke tengah

jalan sesuai dengan sudut pandang kita terhadap

jalan tersebut. Berdasarkan ilustrasi tersebut, kita

membicarakan kata ’batas’ atau ’limit’.

6.1


Konsep Limit Fungsi
6.1.1

Menemukan Konsep Limit Fungsi
Untuk memperjelas kata ’batas’ atau ’limit’ pada ilustrasi di atas, kita akan

mencoba mencari pengertian atau konsep limit tersebut dengan mengamati

permasalahan berikut.
Masalah 6.1
Jika ada pertanyaan:

Bilangan bulat manakah yang terdekat ke

bilangan 3
? Tentu saja dengan mudah kita menjawab yaitu bilangan 2 atau

4, bukan? Tetapi, jika pertanyaan diubah menjadi:

Bilangan realmanakah

yang terdekat ke bilangan

3? Tentu tak berhingga banyaknya bilangan real

yang dekat ke bilangan 3, tetapi bilangan manakah yang terdekat ke 3?

220
Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Gambar 6.3:

Ilustrasi limit sebagai pendekatan nilai
Perbesaran
Perbesaran
Alternatif Penyelesaian:
Mari kita kaji melalui garis bilangan berikut. Perhatikan gambar!
Pada garis bilangan pertama, misalkan jawaban akan pertanyan tersebut

adalah 2,75 atau 3,25, tetapi itu bukan jawaban yang paling tepat untuk

pertanyaan tersebut. Pada garis bilangan kedua, diperoleh bilangan terdekat

adalah 2,99 atau 3,01. Namun jawaban tersebut juga masih kurang tepat karena

pada garis bilangan ketiga tampak bilangan 2,9999 atau 3,0001. Apakah

bilangan 2,9999 atau 3,0001 adalah jawaban yang tepat terhadap pertanyaan

di atas? Tentu tidak, karena masih banyak lagi bilangan yang lain yang dekat

ke angka 3. Jadi, apakah pengertian dekat pada masalah ini?
Pada garis bilangan, dapat dilihat sekelompok bilangan real mendekati

3 dari kiri dan sekelompok bilangan real lainnya mendekati 3 dari kanan.

Namun hanya ada satu bilangan yang terdekat ke 3 dari kiri dan kanan. Jika

dimisalkan

x

sebagai variabel yang dapat menggantikan bilangan-bilangan

yan
g mendekati 3 tersebut maka

x

akan disebut mendekati 3 (dituliskan

x
→
3).

Jika

x

adalah semua bilangan yang mendekati 3 dari kiri maka dituliskan

x
→3
–
dan sebaliknya jika

x

adalah semua bilangan-bilangan yang mendekati 3 dari

kanan maka dituliskan

x
→3
+
.

221
MATEMATIKA

Seorang atlet bola voli sedang melakukan gerakan

smash

terhadap

bola yang telah di-
over

menuju ke arahnya. Atlet tersebut melompat

dan bergerak menuju bola sehingga pada saat tertentu dia akan

menyentuh bola pada ketinggian tertentu, bukan? Atlet tersebut hanya

dapat menyentuh bola, jika ketinggian tangannya meraih bola sama

dengan ketinggian bola. Jika kita amati kasus ini dengan pendekatan

koordinat, dapatkah kamu sketsa detik-detik pergerakan bola dan

atlet sampai tangan atlet menyentuh bola? Kita sketsa bersama-sama.

Perhatikan gambar!
Masalah 6.2
y
x
c
L

Gambar 6.4:

Sketsa pergerakan bola dan atlet voli
titik temu
Alternatif Penyelesaian:
Dari gambar dapat dilihat, bahwa bola yang dipukul ke daerah lawan,

disambut oleh salah satu atlet sehingga bola dan atlet bergerak saling mendekati

dengan arah yang berlawanan sehingga keduanya bertemu atau bersentuhan

(titik temu) pada saat tertentu (titik

c
). Gerakan bola semakin dekat dan

sangat dekat ke titik temu, demikian juga atlet bergerak semakin dekat dan

sangat dekat ke titik temu. Titik temu keduanya menunjukkan ketinggian bola

(titik

L
) dan atlet adalah sama.
Berdasarkan Masalah 6.2, mari kita kaji lebih jauh gerakan objek tersebut

dengan memisalkan gerakan membentuk kurva atau sebuah fungsi. Dengan

demikian, kita akan lebih memahami konsep limit secara intuitif.

222
Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
6.1.2

Pemahaman Intuitif Limit Fungsi
1.

Amati fungsi

f
(
x
)
= x

+ 1 untuk

x

∈

R
. Kita tentukan nilai fungsi

f
(
x
)

=

x

+ 1 pada saat

x

mendekati 2 dengan memisalkan

y = f
(
x
).
Tabel 6.1:

Nilai fungsi

f
(
x
)

= x

+ 1

pada saat

x

mendekati 2
x
1
1,5
1,7
1,9
1,99
1,999
. . .
2
. . .
2,001
2,01
2,1
2,5
2,7
3
y
2
2,5
2,7
2,9
2,99
2,999
. . .
?
. . .
3,001
3,01
3,1
3,5
3,7
4
Perhatikan sketsa berikut:
Jika kita amati tabel dan sketsa di atas maka ada beberapa hasil pengamatan,

sebagai berikut.
•

Terdapat tak berhingga bilangan real yang mendekati 2.
•

Setiap titik di sumbu

x

(daerah asal) mempunyai pasangan di sumbu

y

(
daerah hasil
).
•

Setiap nilai pada fungsi mendekati 3 pada saat

x

mendekati 2.
•

Tampak bahwa pendekatan ada dari kiri dan kanan pada tabel dan

sketsa.
Secara matematika, nilai-nilai fungsi

f
(
x
)

= x

+ 1

mendekati 3 pada saat

x

mendekati 2. Hal ini dapat dinyatakan

2
l i m (
1)
3
x
x
→
+=
.
Gambar 6.5
: Nilai

f(x) = x

+ 1

pada saat

x

mendekati 2 dari kiri dan kanan

223
MATEMATIKA
2.

Amati fungsi

f
(
x
)

=

2
1
1
x
x
–
–
untuk

x

∈

R
,

x ≠

1.
Misalkan

y =

2
1
1
x
x
–
–
=

(
1) (
1)
1
xx
x
+-
–
= x

+ 1 untuk

x ≠

1. Nilai fungsi

f
(
x
)
untuk mendekati 1 dapat dilihat pada tabel berikut.
Tabel 6.2:

Nilai pendekatan fungsi

f
(
x
)
=

2
1
1
x
x
–
–
, x ≠

1 pada saat

x
mendekati 1
x

0,5
0,7
0,9
0,99
0,999
. . .
1
. . .
1,001
1,01
1,1
1,5
1,7
2
y
1
1,5
1,7
1,9
1,99
1,999
. . .
?
. . .
2,001
2,01
2,1
2,5
2,7
3
Pada tabel dapat dilihat nilai

f
(
x
)
akan mendekati 2 pada saat

x

men-

dekati 1

dan nilai fungsi tidak tentu pada

x

= 1. Secara matematika dituliskan

1
2
1
lim
2
1
x
x
x
→
–
=
–
Perhatikan gambar!
Gambar 6.6
: Nilai fungsi

f
(
x
)

=

2
1
1
x
x
–
–
, x ≠

1 pada saat

x

= 1 didekati 1

dari kiri dan kanan

224
Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
3.

Amati fungsi

f
(
x
)

=


x
2
jika x ≤ 1
x

+ 1

jika x > 1
123
.

Jika

y

=

f
(
x
)
maka nilai

f
(
x
)

untuk

x

mendekati 1 dapat dilihat pada tabel berikut.
Tabel 6.3:

Nilai fungsi

f
(
x
)

=


x
2
jika x ≤ 1
x

+ 1

jika x > 1
123

mendekati 2, pada saat

x

mendekati 1
x

0,5
0,7
0,9
0,99
0,999
. . .
1
. . .
1,001
1,01
1,1
1,5
1,7
2
y

0,25
0,49
0,81
0,98
0,998
. . .
?
. . .
2,001
2,01
2,1
2,5
2,7
3
Berdasarkan tabel di atas, nilai fungsi

f
(
x
)
akan mendekati 1 pada saat

x

mendekati 1 dari kiri sementara nilai
f
(
x
)

mendekati 2 pada saat

x

mendekati

1 dari kanan.
Perhatikan gambar!
Gambar 6.7
: Grafik fungsi

f
(
x
)

=


x
2
jika x ≤ 1
x

+ 1

jika x > 1
123
f(x) = x
2
f(x) = x

+ 1
y
x

225
MATEMATIKA
Definisi 6.1
Dengan demikian fungsi

f
(
x
)
=


x
2
jika x ≤ 1
x

+ 1

jika x > 1
123
tidak memiliki limit

pada saat

x

mendekati 1.
Perhatikan definisi limit fungsi berikut!
Misalkan

f

sebuah fungsi

f : R

→

R

dan misalkan

L

dan

c

anggota himpunan

bilangan real.

lim ( )
xc
fx
→

=

L

jika dan hanya jika

f
(
x
)
mendekati

L

untuk semua

x

mendekati

c
.
Catatan:
a.

lim ( )
xc
fx
→

=

L

dibaca limit fungsi

f
(
x
)
untuk

x

mendekati

c

adalah

L
.
b.

Kita menyatakan bahwa

f
(
x
)

mendekati

L

ketika

x

mendekati

c

yang

terdefinisi pada selang/interval yang memuat

c

kecuali mungkin di

c

sendiri.
c.

Limit fungsi mempunyai sifat:

lim ( )
xc
fx
→

=

L

jika dan hanya jika
lim ( )
xc
fx
–
→

=

L =

lim ( )
xc
fx
+
→
.
Coba kamu diskusikan kasus berikut! Perhatikan dan amati beberapa gambar

berikut dengan langkah-langkah pengamatan sebagai berikut.
1.

Tentukan titik-titik

x

yang mendekati

c

dari kiri dan kanan!
2.

Tentukan nilai fungsi

f
(
x
)
untuk

x

yang mendekati

c

dari kiri dan kanan!
3.

Kemudian amati nilai-nilai

f
(
x
)
dari kiri dan kanan.
1.

Tentukan nilai

3
lim ( )
x
fx
–
→-
,

3
lim ( )
x
fx
+
→-
,

1
lim ( )
x
fx
–
→
,

1
lim ( )
x
fx
+
→
,

4
lim ( )
x
fx
–
→
, dan

4
lim ( )
x
fx
+
→
pada gambar berikut! Kemudian tentuk
an nilai

f
(
–3
)
, f
(
1
),dan

f
(
4
) pada gambar berikut! Kemudian tentukan nilai

f
(
–3
),

f
(
1
), dan

f
(
4
)!
Latihan 6.1

226
Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
2.

Gambar manakah yang disebut mempunyai limit pada saat

x

mendekati

c
?

Jelaskan jawabanmu!
Gambar 6.8
: Grafik fungsi

f
(
x
) terkait limit fungsi
f(x)
x
y
Gambar 6.9
: Grafik fungsi

f
(
x
) terkait limit fungsi

227
MATEMATIKA
Contoh 6.1
Seekor lebah diamati sedang hing-
gap di tanah pada sebuah lapang

an. Pada

keadaan dan interval waktu tertentu,

misalkan lebah tersebut terbang mengikuti

fungsi berikut:
Coba kamu tunjukkan grafik lintasan

terbang lebah tersebut dan analisis gerak lebah pada waktu

t

= 1 dan

t

= 2!
Alternatif Penyelesaian:
Perhatikan gambar dari ilustrasi masalah di atas.
Misalkan

y

=

–5
t
2

+

10
t
jika



≤ t ≤

1

5

jika

1

≤ t ≤

2
–5
t

+ 15

jika

2

≤ t ≤

3
14243
f
(t) =

sehingga nilai limit fungsi

pada saat mendekati

t

= 1 dan

t

=2 dilihat pada tabel berikut.
Gambar 6.10
: Lebah
Sumber http://hafizamri.com
–5
t
2

+

10
t
jika



≤ t ≤

1

5

jika

1

≤ t ≤

2
–5
t

+ 15

jika

2

≤ t ≤

3
14243
f
(
t
) =
Gambar 6.11
: Ilustrasi gerakan lebah

228
Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Tabel 6.4:

Nilai

y = f
(
t
) pada saat

t

mendekati 1.
t
0,7
0,8
0,9
0,99
0,999
. . .
1
. . .
1,001
1,01
1,1
1,2
1,3
f (t)
4,55
4,80
4,95
4,9995
5
. . .
5
. . .
5
5
5
5
5
Tabel 6.5:

Nilai

y = f
(
t
) pada saat

t

mendekati 2.
t
1,7
1,8
1,9
1,99
1,999
. . .
2
. . .
2,001
2,01
2,1
2,2
2,3
f (t)
5
5
5
5
5
. . .
5
. . .
4,995
4,95
4,5
4
3,5
Dari pengamatan pada tabel, dapat dilihat bahwa

y

mendekati 5 pada saat

t

mendekati 1 dan

y

mendekati 5 pada saat

t

mendekati 2. Dengan perhitungan

limit fungsi diperoleh:
I. Untuk

t

mendekati 1
1
lim
t
–
→
(
–5
t
2

+

10
t
) = 5

(makna

t
→

1
–

adalah nilai

t

yang mendekati 1 dari

kiri)
1
lim
t
+
→
5 = 5

(makna

t
→

1
+

adalah nilai

t

yang mendekati 1 dari

kanan)
Diperoleh,

1
lim
t
–
→
(
–5
t
2

+

10
t
) = 5 =

1
lim
t
+
→
5. Dengan demikian, fungsi lintasan

lebah

mempunyai limit sebesar 5 pada saat

t

mendekati 1.
II.

Untuk

t

mendekati 2
2
lim
t
–
→
= 5

(makna

t
→

2
–

adalah nilai

t

yang mendekati 2 dari

kiri)
2
lim
t
+
→
(
–5
t
+

15) = 5

(makna

t
→

2
+

adalah nilai

t

yang mendekati 2 dari

kanan)
Diperoleh,

2
lim
t
–
→
5 = 5 =
2
lim
t
+
→
(
–5
t
+

15). Dengan demikian, fungsi lintasan

lebah

mempunyai limit sebesar 5 pada saat

t

mendekati 2.
6.2

Sifat-Sifat Limit Fungsi
Berdasarkan uraian ilustrasi, masalah, dan contoh di atas, secara induktif di-
peroleh sifat berikut.

229
MATEMATIKA
Misalkan

f

sebuah fungsi

f : R

→

R

dan misalkan

L,
c

bilangan real.

lim ( )
xc
fx
→

=

L

jika dan hanya jika

lim ( )
xc
fx
–
→

=

L

=

lim ( )
xc
fx
–
→
Kita akan merumuskan sifat-sifat limit fungsi aljabar.
Jika

f
(
x
)

= k

dengan

k

bilangan real maka tentukan nilai

f
(
x
) pada saat

x

mendekati 1.

Alternatif Penyelesaian:
Misalkan

y = f
(
x
)
sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut.
Tabel 6.6:

Nilai

f
(
x
)

= k

pada saat

x

mendekati 1
x

0,2
0,5
0,9
0,99
0,999
. . .
1
. . .
1,001
1,01
1,1
1,5
1,8
2
y
k
k
k
k
k
k
. . .
?
. . .
k
k
k
K
k
k
Jika

x

mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai

y

akan mendekati

k
.

Secara matematika, ditulis

1
lim
x
–
→
k = k =

1
lim
x
+
→
k

atau

1
lim
x
→
k = k

(berdasarkan

Sifat 6.1).
Misalkan

f
(
x
)

= k

adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada

x
mendekati

c
, dengan

k

dan

c

adalah bilangan real, maka

lim
xc
→
k = k
Jika

f
(
x
)

= x

maka tentukan nilai

f
(
x
) pada saat

x

mendekati 1.

Contoh 6.2
Sifat 6.1
Contoh 6.3
Sifat 6.2

230
Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Sifat 6.3
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan

y = f
(
x
)

= x

sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut.
Tabel 6.7:

Nilai pendekatan

f
(
x
)

= x
,
pada saat

x

mendekati 1
x

0,2
0,5
0,9
0,99
0,999
. . .
1
. . .
1,001
1,01
1,1
1,5
1,8
2
y

0,2
0,5
0,9
0,99
0,999
. . .
?
. . .
1,001
1,01
1,1
1,5
1,8
2
Jika

x

mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai

y

akan mendekati 2.

Secara matematika, ditulis

1
lim
x
–
→
x

= 1

=

1
lim
x
+
→
x

atau

1
lim
x
→
x =

1 (berdasarkan

Sifat 6.1).
Misalkan

f
(
x
)

= x
, adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada

x

mendekati

c
, dengan

c

adalah bilangan real, maka

lim
xc
→
x = c
Jika

f
(
x
)
= kx

dengan

k

adalah konstan maka nilai pendekatan

f
(
x
)

pada saat

x

mendekati 1.

Alternatif Penyelesaian:
Misalkan

y = f
(
x
)

= kx

sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut.
Tabel 6.8:

Nilai pendekatan

f
(
x
)

= kx
,
pada saat

x

mendekati 1
x

0,5
0,9
0,99
0,999
. . .
1
. . .
1,001
1,01
1,1
1,5
2
1,8
2
y

0,5
k
0,9
k
0,99k
0,999
k
. . .
?
. . .
1,001
k
1,01
k
1,1
k
1,5
k
2
k
1,8
2
Kita dapat amati

1
lim
x
–
→
kx

=

k

=

1
lim
x
+
→
kx

atau

1
lim
x
→
kx = k
Jika diuraikan maka:
1
lim
x
→
kx =

(
k
)
1
lim
x
→
(
x
) =

k
.1 =

k

(dimana

1
lim
x
→
x

= 1).
Contoh 6.4

231
MATEMATIKA
Sifat 6.4
Misalkan

f

adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada

x

mendekati

c
,

dengan

c

adalah bilangan real, maka maka

lim
xc
→
[
kf
(
x
)]

= k
[
lim
xc
→
f
(
x
)]
Jika

f
(
x
)

= kx
2
dengan

k

adalah konstan maka nilai pendekatan

f
(
x
)

pada saat

x
mendekati 1.

Alternatif Penyelesaian:
Misalkan

y = f
(
x
)

= kx
2
sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut.
Tabel 6.9:

Nilai pendekatan

f
(
x
)

= kx
2

dengan

k

adalah konstan pada saat

x

mendekati 1
x

0,2
0,5
0,9
0,99
0,999
. . .
1
. . .
1,001
1,01
1,1
1,5
1,8
2
y

0,01
k
0,25
k
0,81
k
0,9801
k
0,998001
k
. . .
?
. . .
1,002001
k
1,0201
k
1,21
k
2,25
k
3,24
k
4
k
Kita dapat amati

1
lim
x
–
→
kx
2
=

k

=

1
lim
x
+
→
kx
2
atau

1
lim
x
→
kx
2

= k.

Bila diuraikan prosesnya

maka,
1
lim
x
→
(2
x
2
)

=
1
lim
x
→

(2) (
x
) (
x
) =
1
lim
x
→
(2)
1
lim
x
→
(
x
)
1
lim
x
→
(
x
) = 2.1.1 = 2
atau
1
lim
x
→
(2
x
2
)

=
1
lim
x
→

(2) (
x
2
) =
1
lim
x
→
(2)
1
lim
x
→
(
x
2
)= 2.1
2

= 2
atau
1
lim
x
→
(2
x
2
)

=
1
lim
x
→

(2
x
) (
x
) =
1
lim
x
→
(2
x
)
1
lim
x
→
(
x
)= 2.1 = 2.
Contoh 6.5

232
Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Sifat 6.5
Misalkan

f
,

g

adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada

x

mendekati

c
,

lim
xc
→
[
f
(
x
)
g
(
x
)] = [
lim
xc
→
f
(
x
)] [
lim
xc
→
g
(
x
)]
1.

Jika

f
(
x
)

= x
2

– 4
x

maka tentukan nilai pendekatan

f
(
x
)
pada saat

x
mendekati 1.
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan

y = f
(
x
)

= x
2

– 4
x

sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel

berikut.

Tabel 6.10:

Nilai

f
(
x
)

= x
2

– 4
x

pada saat

x

mendekati 1
x

0,5
0,9
0,99
0,999
. . .
1
. . .
1,001
1,01
1,1
1,5
2
y

–1,75
–2,79
–2,98
–2,998
. . .
?
. . .
–3,002
–3,02
–3,19
–3,75
–4
Kita dapat amati

1
lim
x
–
→
[
x
2

– 4
x
] = –3 =

1
lim
x
+
→
[
x
2

– 4
x
] atau

1
lim
x
→
[
x
2

– 4
x
] = –3.

Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan

1
lim
x
→
x
2

= 1 dan

1
lim
x
→
4
x
= 4

maka,
1
lim
x
→
[
x
2

– 4
x
] =

1
lim
x
→
[(
x
2
) – (4
x
)]

=

1
lim
x
→
(
x
2
) –

1
lim
x
→
(4
x
)

= (1) – (4)
= –3.
2.

Jika

f
(
x
)

=x
2

+ 4
x

maka tentukan nilai

f
(
x
) pada saat

x

mendekati 1.
Alternatif Penyelesaian:
Tabel 6.11:

Nilai

f
(
x
)

=x
2

+ 4
x

pada saat

x

mendekati 1
x

0,5
0,9
0,99
0,999
. . .
1
. . .
1,001
1,01
1,1
1,5
2
y

2,25
4,41
4,94
4,99
. . .
?
. . .
5,01
5,06
5,61
8,25
12
Contoh 6.6

233
MATEMATIKA
Kita dapat amati

1
lim
x
–
→
[
x
2

+ 4
x
] = 5 =

1
lim
x
+
→
[
x
2

+ 4
x
] atau

1
lim
x
→
[
x
2

+ 4
x
] = 5.

Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan

1
lim
x
→
x
2

= 1 dan

1
lim
x
→
4
x
= 4

maka,
1
lim
x
→
[
x
2

+ 4
x
] =

1
lim
x
→
[(
x
2
) + (4
x
)]
=

1
lim
x
→
(
x
2
) +

1
lim
x
→
(4
x
)

= (1) + (4)
= 5.
Misalkan

f
,

g

adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada

x

mendekati

c
,
lim
xc
→
[
f
(
x
)

± g(x)
] = [
lim
xc
→
f
(
x
)] ± [
lim
xc
→
g
(
x
)]
Jika

f
(
x
)

=

2
2
4
2
xx
xx
+
+
maka tentukan nilai

f
(
x
) pada saat

x

mendekati 1.
Alternatif Penyelesaian:
M
isalkan

y

=

f
(
x
)
=
2
2
4
2
xx
xx
+
+
sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel beriku
t.
Tabel 6.12:

Nilai

f
(
x
)

=

f
(
x
)

=
2
2
4
2
xx
xx
+
+
pada saat

x

mendekati 1
x
0,1
0,7
0,9
0,99
0,999
. . .
1
. . .
1,001
1,01
1,1
1,5
1,7
y
3,42
1,96
1,75
1,67
1,67
. . .
?
. . .
1,67
1,66
1,59
1,38
1,30
Sifat 6.6
Contoh 6.7

234
Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Kita dapat amati

1
lim
x
–
→
2
2
4
2
xx
xx
+
+

= 1,67 =

1
lim
x
+
→
2
2
4
2
xx
xx
+
+

atau

1
lim
x
→
2
2
4
2
xx
xx
+
+
= 1,67. Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan

1
lim
x
→
[
x
2
+ 4
x
] = 5 dan

1
lim
x
→
[2
x
2
+

x
] = 3 maka,
1
lim
x
–
→
2
2
4
2
xx
xx
+
+
=

1
1
2
2
lim(
4 )
lim(2
)
x
x
xx
xx
→
→
+
+

=

5
3

atau 1,67.
Misalkan

f
,

g

adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada

x

mendekati

c
,

dengan

c

adalah bilangan real, maka

lim
xc
→
()
()
fx
gx



=

lim ( )
lim ( )
xc
xc
fx
gx
→
→

=
lim
xc
→
g(x) ≠


Jika

f
(
x
)

=

8
x
3
maka tentukan nilai

f
(
x
) pada saat

x

mendekati 1.
Alternatif Penyelesaian:
M
isalkan

y

=

f
(
x
)

=
8
x
3
sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel beriku
t.
Tabel 6.13:

Nilai

f
(
x
)

=

8
x
3

pada saat

x

mendekati 1
x
0,1
0,7
0,9
0,99
0,999
. . .
1
. . .
1,001
1,01
1,1
1,5
1,7
y
0,08
2,74
5,83
7,76
7,98
. . .
?
. . .
8,02
8,24
10,65
27
39,30
Kita dapat amati

1
lim
x
–
→
8
x
3

= 8 =

1
lim
x
+
→
8
x
3

atau

1
lim
x
→
8
x
3

= 8. Bila diuraikan proses

dengan kaitannya dengan

1
lim
x
→
2
x

= 2 maka,

Contoh 6.8
Sifat 6.7

235
MATEMATIKA
1
lim
x
→
8
x
3
=

1
lim
x
→
(2
x
)
3
=

1
lim
x
→
(2
x
)(2
x
)(2
x
)
= (
1
lim
x
→
2
x
)(
1
lim
x
→
2
x
)(
1
lim
x
→
2
x
)
= (
1
lim
x
→
2
x
)
3
= (2)
3
= 8.
Misalkan

f

adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada

x

mendekati

c
,

dengan

c

adalah bilangan real dan

n

adalah bilangan positif.
lim
xc
→
[
f
(
x
)]
n

=

[
lim
xc
→
f
(
x
)]
n
Tunjukkan dengan pendekatan nilai

2
lim
x
→
x

=

( )
3
3
2
lim
x
x
→
!
Latihan 6.2
Uji Kompetensi 6.1
1.

Tunjukkan dengan pendekatan nilai pada limit fungsi berikut:
a.

2
22
32
lim 6
(lim 2 )(lim3 )
x
xx
x xx
→
→→
=
b.

22
2
22
2
2
(lim )
(lim 4)
4
lim
2
(lim 2) (lim )
xx
x
xx
x
x
x
x
→→
→
→→
=
+
+
+
c.

li
m(
)(
li
ml
im
)
x
x
x
xx
→
→
→
+=
+
2
2
2
2
2
25
25
.
Sifat 6.8

236
Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
2.

Tunjukkan dengan gambar dan pendekatan nilai fungsi pada saat

pendekatan ke 2 dari kiri dan kanan:
a.

2
lim
x
→
x

= 2

d.

2
lim
x
→
6
x
2

= 24
b.

2
lim
x
→
6
x

= 12

e.

2
lim
x
→
6
x

= 3.
c.

2
lim
x
→
(6 +

x
) = 8
3.

Tunjukkan pada gambar berikut, fungsi

y

=

f
(
x
) mempunyai nilai limit

atau tidak pada saat

x

mendekati

c
! Berikan alasan!
a.

d.

b.

e.
c.

f.

237
MATEMATIKA
Definisi 2.2
4.

Jika

L
,

K

adalah bilangan real dan

lim
xc
→
f
(
x
)


= L
,

lim
xc
→
g
(
x
)

= K

maka

tentukan:

a.

2
() 2
lim
() 2
x
fx
fx
→
+
–
b.

2
22
22
()
lim
()
x
fx L
fx L
→
–
+
c.

2
2
()
()
lim
()
()
x
f x gx
f x gx
→




–
+

.
5.

Tunjukkan dengan gambar, nilai pendekatan dari fungsi-fungsi berikut:
a.

2
lim
x
→
(
x

+ 2)
b.

2
2
4
lim
2
x
x
x
→
–
–
c.


2
lim
x
x
x
→
d.

Jika

f
(
x
)

=

x

+ 2

jika x ≤ 1
4
–

x
jika x ≥ 1
123

maka tunjukkan

1
lim
x
→
f
(
x
)
e.

Jika

f
(
x
)

=

x

+ 1

jika x < 1
x
2
+ 1

jika x ≥ 1
123

maka tunjukkan

1
lim
x
→
f
(
x
).

6.

Tuliskan dan tunjukkan sifat-sifat limit yang mana saja dapat digunakan

untuk menyelesaikan limit fungsi berikut?
a.

1
lim
x
→
(3
x
2

– 4)
b.

1
lim
x
→
4
4
x
x
–
+
c.

1
lim
x
→
(2
x
– 1)
4
.

238
Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
6.3

Menentukan Nilai Limit Fungsi
Pada bagian ini, kita akan menentukan nilai limit suatu fungsi aljabar

dengan menggunakan metode ataupun strategi. Perlu kamu ingat, fungsi dapat

terdefinisi pada

x = c
, dan dapat juga tidak terdefinisi pada saat

x = c
. Untuk

itu, nilai

f
(
c
) akan mempunyai bentuk tak tentu, seperti



,

∞
∞
, ∞ – ∞, ∞
∞
dan lain-lain. Bentuk-bentuk ini bukan nilai limit fungsi yang dimaksud. Oleh

karena itu, misi kita adalah mencari bentuk tentu dari limit fungsi tersebut.

Perhatikan langkah-langkah berikut:
1.

Substitusikan

x = c

ke fungsi

f
(
x
) sehingga diperoleh

f(c) = L
. (
L

= nilai

tentu).
2.

Jika

L

merupakan salah satu bentuk tak tentu maka kita harus mencari

bentuk tentu limit fungsi tersebut dengan memilih strategi: mencari

beberapa titik pendekatan, dan memfaktorkan.

Berikut adalah contoh fungsi yang terdefinisi atau tidak terdefinisi pada

suatu pendekatan tertentu.
1.

Fungsi

f
(
x
)

= x
3

+ 1

mempunyai bentuk tentu pada

x

= 1 karena

f
(1) = 2
.

Dengan demikian, nilai limit fungsi pada

x

= 1 adalah 2.
2.

Fungsi

f
(
x
)

=

4
2
1
1
x
x
–
–

mempunyai bentuk tak tentu pada

x

= 1 dan

x

= –1

karena

f(c) =




atau

f
(–1)

=



. Dengan demikian, dibutuhkan strategi

untuk mencari nil
ai limit fungsi pada

x

= 1 dan

x

= –1.

Perhatikan beberapa contoh soal dan penyelesaian berikut.
Tentukan nilai

2
2
2
32
lim
4
x
xx
x
→
-+
–
Alternatif Penyelesaian:
Cara I (
Numerik
)
Jika

y = f
(
x
)

=
2
2
2
32
lim
4
x
xx
x
→
-+
–

maka pendekatan fungsi pada saat

x

mendekati 2

ditunjukkan pada tabel berikut:
Contoh 6.9

239
MATEMATIKA
Tabel 6.14:

Nilai pendekatan

y =

2
2
2
32
lim
4
x
xx
x
→
-+
–
pada saat

x

mendekati 2
x
1,5
1,7
1,9
1,99
1,999
2
2,001
2,01
2,1
2,3
2,5
y
0,143
0,189
0,231
0,248
0,250
0/0
0,250
0,252
0,268
0,302
0,333
Pada tabel, fungsi

y = f
(
x
)
akan mendekati 0,25 untuk

x

mendekati 2.

Cara II (Faktorisasi)
Perhatikan bahwa

f
(2)

=




adalah bentuk tak tentu sehingga diperlukan

strategi pergantian dengan faktorisasi sebagai berikut:
2
2
2
32
lim
4
x
xx
x
→
-+
–

=

2
(
2 ) (
1)
lim
(
2)(
2)
x
xx
xx
→
—
-+

=

2
1
lim
2
x
x
x
→
–
+

karena

x

≠ 2

=

1
4
atau 0,25
.
Tentukan nilai

1
4
2
1
lim
1
x
x
x
→
–
–

dan

1
4
2
1
lim
1
x
x
x
→-
–
–
.
Nilai fungsi tersebut adalah bentuk tak tentu pada absis 1 dan –1 sehingga

perlu strategi pergantian dengan faktorisasi!
Alternatif Penyelesaian:
Cara I (
Numerik
)
Jika

y =

1
4
2
1
lim
1
x
x
x
→-
–
–
maka pendekatan fungsi pada saat

x

mendekati 1 dan –1

ditunjukkan pada tabel berikut:
Tabel 6.15:

Nilai pendekatan

f
(
x
)

=

1
4
2
1
lim
1
x
x
x
→-
–
–
pada saat

x

mendekati 1
x
0,7
0,8
0,9
0,99
0,999
1
1,001
1,01
1,1
1,2
1,3
y
1,49
1,64
1,81
1,98
2,00
?
2,00
2,02
2,21
2,44
2,69
Contoh 6.10

240
Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK
Tabel 6.16:

Nilai pendekatan

f
(
x
)

=

1
4
2
1
lim
1
x
x
x
→-
–
–
pada saat

x

mendekati –1
x
–1,3
–1,2
–1,1
–1,01
–1,001
–1
–0,999
–0,99
–0,9
–0,8
–0,7
y
2,69
2,44
2,21
2,02
2,00
?
2,00
1,98
1,81
1,64
1,49
Dengan melihat tabel-tabel di atas, jika

x

mendekati 1 maka

f
(
x
) akan

mendekati 2 dan jika

x

mendekati –1 maka

f
(
x
) akan mendekati 2.

Cara II (Faktorisasi)
1
4
2
1
lim
1
x
x
x
→
–
–

=

1
2
(
1) (
1) (
1)
lim
(
1) (
1)
x
x xx
xx
→
++-
+-

=

1
2
l i m (
1)
x
x
→
+

karena

x ≠

1 dan

x ≠ –
1

=

1
2
l i m (
1)
x
x
→
+
(–1)
2

+ 1

= 2
dan
1
4
2
1
lim
1
x
x
x
→-
–
–

=

1
2
(
1) (
1) (
1)
lim
(
1) (
1)
x
x xx
xx
→-
++-
+-

=

1
2
l i m (
1)
x
x
→-
+

karena

x ≠

1 dan

x ≠ –
1

=

1
2
l i m (
1)
x
x
→-
+
(–1)
2

+ 1

= 2.
Tentukan nilai

1
33
3
(3
1)
(
1)
lim
1
x
xx
x
→
– -+
–

dengan menunjukkan pendekatan nilai

dan proses pergantian fungsi dengan faktorisasi.

Latihan 6.3