Diketahui Suatu Barisan Aritmatika Dengan U3 U9 U11 75

Konsep Pola Bilangan

^{Sumber : lingkarwarna.com}

Pernahkah Sobat Pintar mengamati urutan nomor rumah di kompleks rumah kalian?

Apakah nomor rumahnya berpola bilangan asli sesuai urutan, atau rumah sebelah kiri menggunakan nomor rumah ganjil dan sebelah kanan menggunakan nomor rumah genap?

Nah! Materi yang akan kita bahas kali ini berhubungan dengan pola pada bilangan.

Pengertian Pola Bilangan

Pola bilangan

yaitu aturan yang digunakan untuk membuat suatu kelompok bilangan.

Macam-macam Pola Bilangan

Pola bilangan dapat dikelompokkan menjadi beberapa macam, diantaranya:

Pola Bilangan Ganjil

Berdasarkan pola di atas, terbentuk pola bilangan ganjil yaitu: 1, 3, 5, 7, 9.

Rumus bilangan ke-n pada pola bilangan ganjil, yaitu:

2n – 1
.

Sedangkan jumlah n bilangan ganjil pertama, yaitu:

n²

.

Pola Bilangan Genap

Berdasarkan pola di atas, terbentuk pola bilangan genap yaitu: 2, 4, 6, 8.

Rumus bilangan ke-n pada pola bilangan genap, yaitu:

2n
.

Sedangkan jumlah n bilangan genap pertama, yaitu:

n(n+1)
.

Pola Garis Lurus

Pola garis lurus

yaitu suatu bilangan yang digambarkan dengan noktah mengikuti pola garis lurus.

Contoh :

Pola Persegi Panjang

Berdasarkan pola di atas, terbentuk pola persegi panjang dengan susunan bilangan 2, 6, 12, 20.

Rumus bilangan ke-n pada pola persegi panjang, yaitu:

n(n+1)
.

Sedangkan jumlah n suku pertamanya, yaitu:

Pola Persegi

Berdasarkan pola di atas, terbentuk pola persegi panjang dengan susunan bilangan 2, 6, 12, 20.

Rumus bilangan ke-n pada pola persegi panjang, yaitu:

n²

.

Sedangkan jumlah n suku pertamanya, yaitu:

Pola Segitiga

Berdasarkan pola di atas, terbentuk pola segitiga  dengan susunan bilangan 2, 6, 12, 20.

Rumus bilangan ke-n pada pola persegi panjang, yaitu:

Sedangkan jumlah n suku pertamanya, yaitu:

Pola Segitiga Pascal

Pola di atas merupakan pola dari

segitiga pascal
. Segitiga pascal digunakan untuk menentukan

koefisien dari polinomial
.

Koefisiennya dapat ditentukan dengan rumus :

(a+b)ⁿ

.

Sedangkan jumlah bilangan pada segitiga pascal baris ke-n, yaitu:

2^n-1

.

Barisan Bilangan

Barisan bilangan

yaitu bilangan-bilangan yang diurutkan dengan aturan tertentu. Barisan bilangan terdiri atas beberapa suku yang dipisahkan dengan

tanda koma (,)
.

Barisan bilangan dapat dinyatakan sebagai:  U1, U2, U3, U4, … .

Contoh dari barisan bilangan:
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, …
80, 40, 20, 10, 5, …

Berdasarkan banyaknya suku, barisan bilangan dapat dikelompokkan menjadi:

• 
  Barisan berhingga
  , yaitu barisan yang memiliki banyak suku dengan
  
  jumlah tertentu
  .
• 
  Barisan tak berhingga
  , yaitu barisan yang banyak sukunya
  
  tak terhitung jumlahnya
  .

Catatan:
Barisan dan deret dapat dibedakan dari

tandanya
, barisan menggunakan

tanda koma (,)
, sedangkan deret menggunakan

tanda penjumlahan (+)
.

Latihan 1

Jawablah soal berikut!

Diketahui suatu barisan: 2, 3, 5, 8, …

Dua suku berikutnya dari barisan tersebut adalah ….

A. 9 dan 10

B. 9 dan 11

C. 10 dan 11

D. 12 dan 17

E. 13 dan 19

Latihan 2

Jawablah soal berikut!

Rumus jumlah n suku pertama dari pola persegi panjang yaitu ….

A. n²

B. n(n+1)

C. 1/3 n(n+1)(n+2)

D. 1/6 n(n+1)(n+2)

E. 1/6 n(n+1)(2n+2)

Latihan 3

Jawablah soal berikut!

1, 6, p, 16, 21, q, r, …

Berdasarkan barisan bilangan di atas, nilai dari p, q, dan r  berturut-turut adalah ….

A. 7, 22, 24

B. 8, 23, 27

C. 9, 24, 26

D. 10, 25, 29

E. 11, 26, 31

Latihan 4

Jawablah soal berikut!

Rumus ½ n(n+1) digunakan untuk menentukan nilai bilangan ke-n pada pola ….

A. Pola Garis Lurus

B. Pola Segitiga

C. Pola Persegi

D. Pola Persegi Panjang

E. Pola Segitiga Pascal

Latihan 5

Jawablah soal berikut!

Diketahui barisan bilangan: 9, 6, 3, 0, -3, …

Suku pertama dan beda pada barisan tersebut adalah ….

A. 9 dan -3

B. 9 dan 3

C. 6 dan -3

D. -3 dan 3

E. -3 dan -3

Latihan 6

Jawablah soal berikut!

Diketahui barisan bilangan: 2, 4, 6, 8 …
Suku pertama dan beda pada barisan tersebut adalah ….

A. 2 dan 1

B. 2 dan 2

C. 2 dan 3

D. 2 dan 4

E. 2 dan 5

Latihan 7

Jawablah soal berikut!

1, 3, p, 7, 9, q, r, …
Berdasarkan barisan bilangan di atas, nilai dari p, q, dan r  berturut-turut adalah ….

A. 5, 12, 14

B. 5, 12, 13

C. 5, 11, 13

D. 5, 11, 12

E. 5, 10, 12

Barisan Aritmetika

^{Sumber: m4th-lab.net}

Barisan dan deret yang sudah kita pelajari sebelumnya akan kita bahas kembali pada materi kali ini.

Seperti yang Sobat Pintar ketahui bahwa suatu barisan ataupun deret terbentuk oleh aturan tertentu yang dikelompokkan menjadi dua, yaitu:

Aritmetika dan Geometri
.

Kita akan belajar mengenai

barisan dan deret aritmetika

terlebih dahulu ya, Sobat Pintar.

Barisan Aritmetika

adalah barisan bilangan yang memiliki

beda atau selisih tetap

antara dua suku yang berurutan.

Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika dapat dituliskan:

U

_n


= a + (n – 1)b

Keterangan:

U_n
= Suku ke-n

a = suku pertama

b = beda / selisih

n = banyaknya suku.

Beda atau selisih

dari barisan aritmetika dapat dicari dengan cara:

b = U

_n


– U

_n-1

Deret Aritmetika

Deret Aritmetika

adalah penjumlahan suku-suku pada pada barisan aritmetika.

Deret Aritmetika dapat dinyatakan:

U

₁


+ U

₂


+ U

₃


+ U

₄


+ …

Rumus untuk menentukan jumlah suku ke-n pada deret aritmetika, yaitu:

Keterangan:

S_n
= jumlah n suku pertama

n = banyaknya suku

a = suku pertama

b = beda/selisih

U_n
= suku ke-n.

Contoh soal :

Mencari suku ke-n


Diketahui barisan aritmetika seperti berikut : 1, 3, 5, 7, 9, ….
Tentukan suku kesepuluh dari barisan di atas!
Jawab:
Diketahui : a = 1 dan b =  2.
U_n
= a + (n-1)b
U₁₀
= 1 + (10-1)2
U₁₀
= 1 + (9)2
U₁₀
= 1 + 18
U₁₀
= 19.

Mencari jumlah suku ke-n


Diketahui deret aritmetika seperti berikut : 2 + 5 + 8 + … .
Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret di atas!
Jawab:
Diketahui : a = 2 dan b =  3.
S_n
= n/2 (2a + (n – 1)b)
S₁₀
= 10/2 (2(2) + (10 – 1)3)
S₁₀
= 5 (4+ 27)
S₁₀
= 5 (31)
S₁₀
= 155.

Suku Tengah dan Sisipan Bilangan pada Barisan Aritmetika

Suku tengah

dari suatu barisan aritmetika yang berhingga dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut:

dengan U_2k-1
adalah letak suku tengah

Jika dalam suatu barisan aritmetika disisipkan k bilangan maka akan diperoleh beda yang baru, dapat ditentukan dengan cara berikut:

dengan y dan x adalah dua bilangan yang akan disisipkan k buah bilangan.

Latihan 1

Jawablah soal berikut!

Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….

A. 840

B. 660

C. 640

D. 630

E. 315

Latihan 2

Jawablah soal berikut!

Diketahui suatu barisan aritmatika dengan U₃
+ U₉
+ U₁₁
= 75. Suku tengah barisan tersebut adalah 68 dan banyak sukunya 43, maka U₄₃
adalah ….

A. 218

B. 208

C. 134

D. 132

E. 131

Latihan 3

Jawablah soal berikut!

Suku ketiga dan ketujuh dari suatu barisan aritmatika adalah 92 dan 76. Maka suku ke-15 pada barisan tersebut adalah….

A. 140

B. 100

C. 56

D. 44

E. 40

Latihan 4

Jawablah soal berikut!

Jumlah suku kedua dan kelima barisan artimatika adalah 29. Jika suku ke 8 = 37, maka suku ke 21 adalah ….

A. 102

B. 101

C. 100

D. 99

E. 98

Latihan 5

Jawablah soal berikut!

Seorang penjahit akan diberikan upah sebesar Rp 25.000,00 pada pakaian pertama yang dihasilkan. Penjahit akan mendapatkan tambahan upah setiap menghasilkan pakaian baru dalam sehari. Jika dalam sehari penjahit bisa menyelesaikan 10 pakaian, Ia akan menerima upah Rp 475.000,00. Upah yang diterima penjahit jika Ia hanya bisa menyelesaikan 6 pakaian adalah ….

A. Rp 375.000,-

B. Rp 350.000,-

C. Rp 325.000,-

D. Rp 300.000,-

E. Rp 275.000,-

Latihan 6

Jawablah soal berikut!

Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 9, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 36. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah ….

A. 145

B. 150

C. 155

D. 160

E. 165

Latihan 7

Jawablah soal berikut!

Diketahui suatu barisan aritmatika dengan U3 + U9 + U11 = 46. Suku tengah barisan tersebut adalah 44 dan banyak sukunya 43, maka U43 adalah ….

A. 84

B. 86

C. 88

D. 90

E. 92

Barisan Geometri

^{Sumber : materimatematika.com}

Bola yang memantul semakin lama tinggi pantulannya akan semakin berkurang, hal ini akan membentuk sebuah

pola barisan geometri

lho, Sobat Pintar!

Jadi barisan geometri sendiri itu apa sih?

Yuk, langsung simak pembahasannya ya!

Barisan Geometri

adalah barisan bilangan dimana dua suku yang berurutan memiliki p
erbandingan yang bernilai tetap
. Perbandingan dalam barisan geometri disebut rasio (r).

Barisan geometri dapat dinyatakan sebagai berikut:

U

_n


= a.r

^n-1

Keterangan :

U_n
= suku ke-n

a = suku pertama

r = rasio

n = banyaknya suku

Rasio dari barisan geometri dapat dicari dengan cara:

Deret Geometri

Selain barisan, terdapat juga deret geometri.

Deret geometri

adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan geometri.

Sama seperti deret aritmetika, deret geometri jika dinyatakan yaitu :

U

₁


+ U

₂


+ U

₃


+ U

₄


+ …

Rumus yang digunakan untuk menentukan jumlah n suku dari deret geometri, yaitu:

Keterangan:

S_n
= jumlah n suku pertama

a = suku pertama

r = rasio

n = banyaknya suku.

Contoh soal :

Mencari suku ke-n


Diketahui barisan geometri seperti berikut : 2, 4, 16, … .
Tentukan suku kelima dari barisan di atas!
Jawab:
Diketahui : a = 2 dan r = 2.
U_n
= a(rn-1)
U₅
= 2(25-1)
U₅
= 2(24)
U₅
= 32

Mencari jumlah suku ke-n


Diketahui deret geometri seperti berikut : 3 + 9 + 27 + … .
Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret di atas!
Jawab:
Diketahui : a = 3 dan r =  3.

Deret Geometri Tak Hingga

Berbeda dengan deret geometri sebelumnya yang memiliki banyak suku yang berhingga,

deret geometri tak hingga

merupakan penjumlahan dari suku-suku pada barisan geometri dengan rasio tertentu yang banyak sukunya tak terhitung.

Rumus untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga, yaitu:

Suatu deret geometri tak hingga akan konvergen jika memiliki jumlah untuk -1 < r < 1.

• Jika diketahui suatu deret a + ar²
  + ar⁴
  + … maka jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil, yaitu:

• Jika diketahui suatu deret a + ar³
  + ar⁵
  + … maka jumlah suku-suku pada kedudukan genap, yaitu:

.

Contoh soal :

Diketahui suku pertama deret geometri adalah 49 dan jumlah tak hingga dari deret tersebut adalah 21, tentukan rasionya!

Jawab :

Suku Tengah dan Sisipan Bilangan pada Barisan Geometri

Rumus yang digunakan untuk menentukan suku tengah dari barisan geometri, yaitu:

Jika pada barisan geometri disisipkan k bilangan maka akan diperoleh rasio yang baru, yaitu:

dengan x dan y adalah dua bilangan yang akan disisipkan k buah bilangan.

Latihan 1

Jawablah soal berikut!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 2

Jawablah soal berikut!

Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah 1/3 dan rasio = 1/3, maka suku ke-9 barisan geometri tersebut adalah ….

A. 27

B. 9

C. 1/27

D. 1/81

E. 1/243

Latihan 3

Jawablah soal berikut!

Suku pertama pada barisan geometri adalah 1600. Jika suku ketiga pada barisan tersebut adalah 25, maka rasionya yaitu ….

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 4

Jawablah soal berikut!

Pada deret geometri 400+200+100+ … + … . Berapa jumlah 5 suku pertama deret geometri tersebut ….

A. 25

B. 75

C. 100

D. 550

E. 775

Latihan 5

Jawablah soal berikut!

Penularan virus corona pada hari ke 5 setelah masuk ke suatu negara berjumlah 12500. Apabila setiap harinya terdapat lima kali lipat jumlah oraang yang terpapar virus tersebut, maka setelah satu minggu, jumlah orang yang terpapar virus tersebut adalah ….

A. 1.562.500

B. 312.500

C. 156.250

D. 78.125

E. 62.500

Latihan 6

Jawablah soal berikut!

Hasil jumlah dari 8 + 4 + 2 +1 + … adalah ….

A. 8

B. 16

C. 24

D. 32

E. 40

Latihan 7

Jawablah soal berikut!

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah 2 dan suku ke-3 adalah 8, suku ke- 5 barisan tersebut adalah ….

A. 32

B. 64

C. 128

D. 256

E. 512

Pertumbuhan dan Peluruhan

Menurut Sobat Pintar, semenjak adanya pandemi covid-19 membuat tingkat kematian penduduk Indonesia menjadi semakin bertambah atau berkurang ya? Atau bahkan semakin banyak bayi yang lahir saat pandemi ini berlangsung?

Nah suatu barisan sendiri dapat bermanfaat

untuk menghitung tingkat kematian maupun kelahiran

penduduk Indonesia lho, Sobat!

Kita bisa mengetahui kematian atau kelahiran mengalami pertumbuhan atau peluruhan. Seperti materi yang akan kita bahas kali ini, salah satu aplikasi dari barisan adalah mengenai

pertumbuhan dan peluruhan
.

Yuk, langsung simak pembahasannya ya!

PERTUMBUHAN

Pertumbuhan merupakan konsep barisan aritmetika maupun geometri yang naik, dapat dituliskan:

U₁
< U₂
< U₃
< U₄
< … < U_n

Rumus untuk menentukan pertumbuhan setelah tahun ke-n
, yaitu:

1. Jika diketahui persentase (i): A_n
   = A_o
   (1+i)ⁿ
2. Jika diketahui rasio: A_n
   = A_o(r)ⁿ
   dengan r > 1

Keterangan:

A_o
= Jumlah objek awal

A_n
= Jumlah objek setelah tahun ke-n

i = persentase pertumbuhan

r = rasio pertumbuhan

n = periode waktu.

PELURUHAN

Peluruhan merupakan konsep barisan aritmetika maupun geometri yang turun, dapat dituliskan:

U₁
> U₂
> U₃
> U₄
> … > U_n

Rumus untuk menentukan peluruhan setelah tahun ke-n
, yaitu:

A_n
= A_o
( 1 – i )ⁿ

Khusus untuk menentukan peluruhan dari radioaktif, digunakan rumus:

Keterangan

A_n
= Jumlah objek setelah periode ke-n

A_o
= Jumlah objek awal

i = persentase peluruhan

n = periode waktu.

Bunga Majemuk

Bunga majemuk
sering kita jumpai dalam bidang perbankan. Berbeda dengan bunga tunggal, nilai dari bunga majemuk diperoleh dari nilai modal dengan bunga sebelumnya.

Rumus untuk menentukan modal akhir dengan bunga majemuk
, yaitu:

M_n
= M_o(1+i)ⁿ

Keterangan:

M_n
= Modal akhir setelah tahun ke-n

M_o
= Modal awal

i = persentase bunga majemuk

n = periode bunga majemuk.

Anuitas

Anuitas

sering digunakan dalam sistem angsuran kredit (bank, rumah, kendaraan bermotor). Terdapat

dua jenis anuitas
, yaitu:

• 
  Anuitas pasti
  , terdapat pada sistem perbankan
• 
  Anuitas tidak pasti
  , terdapat pada sistem asuransi

Rumus yang digunakan untuk menentukan besarnya anuitas
, yaitu:

Keterangan:

A = Anuitas

M = Modal Pinjaman

i = persentase suku bunga

n = periode pinjaman.

Latihan 1

Jawablah soal berikut!

Berdasarkan survei, populasi hewan A bertambah 2% dari populasi sebelumnya setiap 3 tahun. Jika pada tahun 2020 populasi hewan A sebanyak 500 ekor, berapakah populasi hewan tersebut pada 15 tahun yang akan datang?

A. 563

B. 552

C. 541

D. 530

E. 520

Latihan 2

Jawablah soal berikut!

Suatu unsur radioaktif meluruh dalam waktu 72 hari dengan waktu paruh 12 hari, massa awal unsur tersebut jika massa yang tersisa 10 gram adalah ….

A. 120 gram

B. 240 gram

C. 360 gram

D. 640 gram

E. 720 gram

Latihan 3

Jawablah soal berikut!

Bintang membeli rumah dengan menggunakan sistem anuitas pada pembayaran kreditnya. Harga rumah tersebut adalah Rp 500.000.000,- dengan suku bunga 3% per tahun. Bintang berniat melunasi kreditnya dengan 10 kali anuitas. Besar anuitas yang harus dibayar Bintang adalah ….

A. Rp 58.616.647,-

B. Rp 43.615.253,-

C. Rp 11.161.408,-

D. Rp 5.158.745,-

E. Rp 3.838.500,-

Latihan 4

Jawablah soal berikut!

Suatu neutron dapat dipecah menjadi proton dan elektron. Seorang peneliti memiliki 100.000 neutron, setelah 5 menit ia mengamati kembali  neutron tersebut. Jika 10% dari neutron tersebut berubah pada akhir satu menit, jumlah neutron ketika diamati kembali oleh peneliti adalah ….

A. 2.476.099

B. 161.051

C. 59.049

D. 32.467

E. 1

Latihan 5

Jawablah soal berikut!

Indah menabung di sebuah bank sebesar Rp 20.000.000 dan memperoleh bunga 2,5% per tahun. Jika Indah tidak pernah menarik uang di bank selama 5 tahun, maka bunga yang diperoleh Indah dalam kurun waktu tersebut yaitu ….

A. Rp 61.035.156,-

B. Rp 41.035.156,-

C. Rp 22.628.164,-

D. Rp 22.081.616,-

E. Rp 2.628.164,-

Latihan 6

Jawablah soal berikut!

Hasil produksi pakaian seragam sekolah putih abu-abu yang dibuat oleh siswa-siswa SMK Jurusan Tata Busana pada bulan pertama menghasilkan 40 setel. Setiap bulan berikutnya, hasil produksi meningkat sebanyak 5 setel sehingga membentuk deret aritmetika. Banyak hasil produksi selama 2 bulan pertama adalah … setel.

A. 65

B. 70

C. 75

D. 80

E. 85

Latihan 7

Jawablah soal berikut!

Sebuah perusahaan pada bulan pertama memproduksi 1000 unit barang dan menaikkan produksinya tiap bulan sebanyak  400 unit. Jumlah barang yang diproduksi selama satu semester adalah ….