Fungsi bijektif
(korespondensi satu-satu) merupakan fungsi yang injektif sekaligus surjektif. Dengan kata lain, setiap anggota kodomain pada fungsi bijektif memiliki tepat satu prapeta pada domain. Pada fungsi bijektif antara dua himpunan berhingga, banyak anggota domain sama dengan banyak anggota kodomain.

Sebelum membahas lebih lanjut mengenai fungsi bijektif, penting bagi kita untuk memahami fungsi injektif dan surjektif.

Fungsi Injektif

Apa Itu Fungsi Injektif?

Fungsi injektif adalah fungsi yang memetakan setiap anggota domain ke anggota kodomain yang berbeda. Pada fungsi injektif, tidak ada anggota kodomain yang memiliki dua atau lebih prapeta.

Jika $a$ adalah anggota kodomain maka hanya ada dua kemungkinan, yaitu $a$ tidak memiliki prapeta atau memiliki tepat satu prapeta.

Definisi

Misalkan $f$ adalah fungsi dari $X$ ke $Y$. Fungsi $f$ disebut injektif, jika untuk setiap $a,b \in X$ berlaku$$a \neq b \implies f(a) \neq f(b)$$

Berikut adalah contoh fungsi injektif.

Fungsi di atas adalah fungsi injektif, karena setiap anggota $A$ dipetakan ke anggota $B$ yang berbeda. Kesimpulan yang sama diperoleh jika kita memperhatikan anggota $B$. Tidak ada anggota $B$ yang memiliki lebih dari satu prapeta. Dengan alasan yang sama, fungsi berikut juga injektif,

Contoh fungsi injektif lainnya

Berbeda dengan dua contoh sebelumnya, fungsi berikut tidak injektif. Ada dua anggota berbeda dari $A$, yaitu $w$ dan $x$, dengan peta yang sama, yaitu $3$. Dengan kata lain, $3 \in B$ memliki lebih dari satu prapeta.

Contoh fungsi yang tidak injektif

Membuktikan Fungsi Injektif

Untuk membuktikan bahwa $f:X \to Y$ fungsi injektif, kita perlu menunjukkan$$\forall a,b \in X, \; f(a)=f(b) \implies a=b$$

Untuk itu, diambil $a,b \in X$ sebarang dengan $f(a)=f(b)$, lalu ditunjukkan bahwa $a=b$.

Mungkin ada yang berpikir, mengapa tidak menggunakan syarat yang ada dalam definisi? Sebenarnya kita menggunakan syarat tersebut. Hanya saja, kita tidak menggunakan bukti langsung, namun menggunakan bukti kontrapositif.

Agar lebih paham, mari mengerjakan beberapa contoh soal.

Contoh 1

Periksa apakah $f:\mathbb R \to \mathbb R$ dengan$$f(x)=2x+1, \quad \forall x \in \mathbb R$$merupakan fungsi injektif.

Diambil sebarang $a,b \in \mathbb{R}$ dengan $f(a)=f(b)$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}f(a) &= f(b) \\2a+1 &= 2b+1 \\2a &= 2b \\a &= b\end{aligned}$$

Diperoleh $a=b$. Dengan demikian, $f$ adalah fungsi injektif.


Contoh 2

Periksa apakah $g:\mathbb R \to \mathbb R$ dengan$$g(x)=x^3, \quad \forall x \in \mathbb R$$merupakan fungsi injektif.

Diambil sebarang $a,b \in \mathbb{R}$ dengan $g(a)=g(b)$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}f(a) &= f(b) \\a^3 &= b^3 \\0 &= b^3-a^3 \\0 &= (b^2+ab+a^2)(b-a) \quad \ldots (1)\end{aligned}$$

Pandang faktor pertama sebagai fungsi kuadrat dalam $b$, yaitu $$h(\textcolor{blue}{b})=\textcolor{blue}{b^2}+a\textcolor{blue}{b}+a^2$$

Diskriminan dari $h$ kurang dari nol ($D<0$). Karena koefisien $b^2$ bernilai positif, maka $h$ adalah definit positif. Dengan kata lain, $b^2+ab+a^2 > 0$.

Akibatnya, persamaan $(1)$ hanya dipenuhi oleh $$b-a=0 \implies b=a$$

Dengan demikian, $g$ adalah fungsi injektif.


Demikian cara membuktikan bahwa suatu fungsi injektif. Namun, bagaimana membuktikan sebaliknya?

Caranya lebih sederhana, kita hanya perlu menemukan dua elemen domain yang berbeda, namun memiliki peta yang sama. Dengan kata lain, $a,b \in X$ dengan $a \neq b$ tetapi $f(a)=f(b)$.

Contoh 3

Periksa apakah $f:\mathbb R \to \mathbb R$ dengan$$f(x)=x^2-1, \quad \forall x \in \mathbb R$$merupakan fungsi injektif.

Jika $a$ dan $b$ adalah sebarang bilangan real, maka$$\begin{aligned}f(a) &= f(b) \\a^2-1 &= b^2-1 \\a^2 &= b^2 \\a^2-b^2 &= 0 \\(a-b)(a+b) &= 0\end{aligned}$$Apakah ini berakibat $a=b$? Tidak, karena faktor $a+b$ dapat bernilai nol meskipun $a \neq b$. Misalnya, untuk $a=-1$ dan $b=1$.

Fungsi $f$ tidak injektif, karena terdapat $-1,1 \in \mathbb R$ di mana $-1 \neq 1$, tetapi $f(-1)=f(1)=0$.

Baca :   Tiara Bunga Hotel Balige

Contoh 4

Periksa apakah $g:\mathbb R \to \mathbb R$ dengan$$g(x)=x^3-x, \quad \forall x \in \mathbb R$$merupakan fungsi injektif.

Jika $a$ dan $b$ adalah sebarang bilangan real, maka$$\begin{aligned}g(a) &= g(b) \\a^3-a &= b^3-b \\0 &= (b^3-a^3)-(b-a) \\0 &= (b^2+ab+a^2)(b-a)-(b-a) \\0 &= (b^2+ab+a^2-1)(b-a)\end{aligned}$$Apakah ini berakibat $a=b$? Tidak, karena faktor $b^2+ab+a^2-1$ dapat bernilai nol meskipun $a \neq b$. Misalnya, untuk $a=0$ dan $b=1$. Ohya, jika pembaca dapat menemukan nilai $a$ dan $b$ tanpa melalui proses ini, tentu lebih baik lagi. 🙂

Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}g(0)&=0^5-0=0 \\g(1)&=1^5-1=0\end{aligned}$$

Terdapat $0,1 \in \mathbb R$ di mana $0 \neq 1$, tetapi $g(0)=g(1)=0$. Dengan demikian, $g$ bukan fungsi injektif.


Komposisi Fungsi Injektif

Berikut adalah beberapa sifat terkait komposisi pada fungsi injektif.

Sifat 1

Jika $f:X \to Y$ dan $g:Y \to Z$ adalah fungsi injektif maka $g \circ f:X \to Z$ adalah fungsi injektif.

Bukti. Diambil sebarang $a,b \in X$ dengan $(g \circ f)(a)=(g \circ f)(b)$. Akan ditunjukkan $a=b$.

Perhatikan bahwa$$(g \circ f)(a)=(g \circ f)(b) \implies g(\textcolor{blue}{f(a)})=g(\textcolor{blue}{f(b)})$$

Diketahui $g$ injektif, sehingga diperoleh $f(a)=f(b)$, dari persamaan di atas. Karena $f$ juga injektif, maka diperoleh $a=b$.

Dengan demikian, $g \circ f$ adalah fungsi injektif.


Sifat 2

Misalkan $f:X \to Y$ dan $g:Y \to Z$. Jika $g \circ f$ fungsi injektif maka $f$ adalah fungsi injektif.

Bukti. Diambil sebarang $a,b \in X$ dengan $f(a)=f(b)$. Akan ditunjukkan $a=b$.

Fungsi $f$ memetakan $X$ ke $Y$, sehingga $f(a),f(b) \in Y$. Di pihak lain, fungsi $g$ memetakan $Y$ ke $Z$. Akibatnya, $g$ juga memetakan $f(a)$ dan $f(b)$.$$\begin{aligned}f(a) &= f(b) \\g(f(a)) &= g(f(b)) \\(g \circ f)(a) &= (g \circ f)(b)\end{aligned}$$

Karena $g \circ f$ adalah fungsi injektif, maka $(g \circ f)(a)=(g \circ f)(b)$ berakibat $a=b$. Dengan demikian, $f$ adalah fungsi injektif.


Fungsi Surjektif

Apa Itu Fungsi Surjektif?

Fungsi surjektif adalah fungsi yang daerah hasilnya sama dengan kodomain fungsi. Pada fungsi surjektif, setiap anggota kodomain memiliki paling sedikit satu prapeta.

Definisi

Misalkan $f$ adalah fungsi dari $X$ ke $Y$. Fungsi $f$ disebut surjektif, jika untuk setiap $b \in Y$ terdapat $a \in X$ sedemikian sehingga $f(a)=b$.

Berikut adalah contoh fungsi surjektif.

Contoh fungsi surjektif

Fungsi di atas adalah fungsi surjektif. Karena setiap anggota $B$ memiliki prapeta. Dengan alasan yang sama, fungsi berikut juga surjektif.

Contoh fungsi surjektif lainnya

Berbeda dengan contoh sebelumnya, fungsi berikut tidak surjektif. Karena terdapat $3 \in B$ yang tidak memiliki prapeta.

Membuktikan Fungsi Surjektif

Untuk membuktikan $f:X \to Y$ fungsi surjektif, kita perlu menunjukkan bahwa untuk setiap $b \in Y$ terdapat sedikitnya satu $a \in X$ sehingga $f(a)=b$.

Untuk itu, diambil sebarang $b \in Y$, lalu kita perlu menemukan $a \in X$ yang memenuhi $f(a)=b$.

Agar lebih paham, mari mengerjakan beberapa contoh soal.

Contoh 1

Periksa apakah $f:\mathbb R \to \mathbb R$ dengan$$f(x)=2x+1, \quad \forall x \in \mathbb R$$merupakan fungsi surjektif.

Diambil sebarang $b \in \mathbb R$ (kodomain fungsi $f$).

Kita perlu menemukan $a \in \mathbb R$ (domain fungsi $f$) yang memenuhi $f(a)=b$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}f(a) &= b \\2a+1 &= b \\2a &= b-1 \\a &= \frac{b-1}{2}\end{aligned}$$Nah, $(b-1)/2$ adalah bilangan real, sehingga inilah nilai $a$ yang kita cari.

Terdapat $a=(b-1)/2 \in \mathbb R$ sedemikian sehingga$$\begin{aligned}f(a) &= f\left( \frac{b-1}{2} \right) \\&= 2 \cdot \frac{b-1}{2}+1 \\&= b-1+1 \\&= b\end{aligned}$$

Dengan demikian, $f$ adalah fungsi surjektif.


Contoh 2

Fungsi $g:\mathbb N \to \mathbb N$ didefinisikan sebagai$$g(x)=\begin{cases}x+1,&\textrm{jika x ganjil} \\x-1,&\textrm{jika x genap}\end{cases}$$Periksa apakah $g$ merupakan fungsi surjektif.

Baca :   Soal Uas Tema 4 Kelas 3

Diambil sebarang $b \in \mathbb N$. Jika $b$ ganjil, maka terdapat $b+1 \in \mathbb N$ yang memenuhi$$\begin{aligned}g(b+1) &= (b+1)-1 \quad &&[\text{b+1 genap, karena b ganjil}] \\&= b\end{aligned}$$

Jika $b$ genap, maka terdapat $b-1 \in \mathbb N$ yang memenuhi$$\begin{aligned}g(b-1) &= (b-1)+1 \quad &&[\text{b-1 ganjil, karena b genap}] \\&= b\end{aligned}$$

Dengan demikian, $g$ adalah fungsi surjektif.


Untuk membuktikan bahwa suatu fungsi tidak surjektif, kita perlu menemukan anggota kodomain yang tidak memiliki prapeta.

Contoh 3

Periksa apakah $f:\mathbb R \to \mathbb R$ dengan$$f(x)=x^2, \quad \forall x \in \mathbb R$$merupakan fungsi surjektif.

Perhatikan bahwa untuk setiap $a \in \mathbb R$ berlaku $a^2 \geq 0$. Akibatnya, bilangan real negatif, seperti $-1$, tidak memiliki prapeta.

Perhatikan bahwa $-1 \in \mathbb R$ (kodomain $f$), tetapi tidak ada $a \in \mathbb R$ (domain $f$) yang memenuhi $f(a)=a^2=-1$. Dengan demikian, $f$ bukan fungsi surjektif.

Contoh 4

Periksa apakah $g:\mathbb N \to \mathbb N$ dengan$$g(x)=2x+1, \quad \forall x \in \mathbb N$$merupakan fungsi surjektif.

Untuk setiap $a \in \mathbb N$, $2a+1$ adalah bilangan ganjil. Akibatnya, bilangan asli genap, seperti $2$, tidak memiliki prapeta.

Perhatikan bahwa $2 \in \mathbb N$ (kodomain $g$), tetapi tidak ada $a \in \mathbb N$ (domain $g$) yang memenuhi $g(a)=2a+1=2$. Dengan demikian, $f$ bukan fungsi surjektif.


Komposisi Fungsi Surjektif

Berikut adalah beberapa sifat terkait komposisi pada fungsi surjektif.

Sifat 3

Jika $f:X \to Y$ dan $g:Y \to Z$ adalah fungsi surjektif maka $g \circ f:X \to Z$ adalah fungsi surjektif.

Bukti. Diambil sebarang $b \in Z$. Perlu ditunjukkan bahwa terdapat $a \in X$ sehingga $(g \circ f)(a)=b$.

Karena $g:Y \to Z$ fungsi surjektif dan $b \in Z$, maka terdapat $c \in Y$ sedemikian sehingga$$g(c)=b \quad \ldots (1)$$

Karena $f:X \to Y$ juga surjektif dan $c \in Y$, maka terdapat $a \in X$ sedemikian sehingga$$f(a)=c \quad \ldots (2)$$

Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh$$(g \circ f)(a)=g(f(a))=g(c)=b$$

Dengan demikian, $g \circ f$ adalah fungsi surjektif.


Sifat 4

Misalkan $f:X \to Y$ dan $g:Y \to Z$. Jika $g \circ f$ fungsi surjektif maka $g$ adalah fungsi surjektif.

Bukti. Diambil sebarang $b \in Z$. Perlu ditunjukkan bahwa terdapat $a \in Y$ sehingga $g(a)=b$.

Karena $g \circ f:X \to Z$ fungsi surjektif dan $b \in Z$, maka terdapat $c \in X$ sedemikian sehingga$$(g \circ f)(c)=b \implies g(f(c))=b \quad \ldots (1)$$

Di pihak lain, karena $f:X \to Y$ adalah fungsi dan $c \in X$, maka terdapat $a \in Y$ sedemikian sehingga$$f(c)=a \quad \ldots (2)$$

Dari persamaan $(1)$ dan $(2)$, diperoleh$$b=g(f(c))=g(a)$$

Dengan demikian, $g$ adalah fungsi surjektif.


Fungsi Bijektif

Apa Itu Fungsi Bijektif?

Fungsi bijektif adalah fungsi yang injektif sekaligus surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota kodomain mempunyai tepat satu prapeta pada domain. Jika f adalah fungsi bijektif antara dua himpunan berhingga X dan Y, maka kardinalitas himpunan X sama dengan kardinalitas himpunan Y.

Definisi

Misalkan $f$ adalah fungsi dari $X$ ke $Y$. Fungsi $f$ disebut bijektif, jika untuk setiap $b \in Y$ terdapat secara tunggal $a \in X$ sedemikian sehingga $f(a)=b$.

Bisakah anda memberi contoh fungsi bijektif? 🙂

Komposisi Fungsi Bijektif

Berikut adalah beberapa sifat terkait komposisi pada fungsi Bijektif.

Sifat 5

Jika $f:X \to Y$ dan $g:Y \to Z$ adalah fungsi bijektif maka $g \circ f:X \to Z$ adalah fungsi bijektif.

Bukti. Diketahui $f$ dan $g$ fungsi bijektif, artinya $f$ dan $g$ adalah fungsi injektif sekaligus surjektif. Berdasarkan Sifat 1, $f$ dan $g$ injektif berakibat $g \circ f$ injektif. Di pihak lain, $f$ dan $g$ surjektif berakibat $g \circ f$ juga surjektif (Sifat 3). Dengan demikian, $g \circ f$ adalah fungsi bijektif.

Baca :   Berikut Ini Ciri Khas Sifat Tradisional Seni Kecuali

Sifat 6

Misalkan $f:X \to Y$ dan $g:Y \to Z$. Jika $g \circ f$ fungsi bijektif maka $g$ adalah fungsi surjektif dan $f$ adalah fungsi injektif.

Bukti. Diketahui $f \circ g$ fungsi bijektif, artinya $g \circ f$ adalah fungsi injektif sekaligus surjektif. Berdasarkan Sifat 2, $g \circ f$ injektif berakibat $f$ injektif. Di pihak lain, $g \circ f$ surjektif berakibat $g$ juga surjektif. Terbukti.

Keberadaan Invers Fungsi

Tidak semua fungsi mempunyai invers. Fungsi bijektif merupakan syarat cukup dan syarat perlu dari keberadaan invers fungsi.

Sifat 7

Jika $f:X \to Y$ adalah fungsi bijektif maka $f$ mempunyai invers.

Bukti. Definisikan relasi $g$ yang memasangkan $b \in Y$ dengan $a \in X$, jika $f(a)=b$. Pertanyaan pertama, apakah $g$ sebuah fungsi?

Diketahui $f$ fungsi bijektif, sehingga $f$ adalah fungsi surjektif sekaligus injektif. Karena $f$ surjektif, maka untuk setiap $b \in Y$ terdapat $a \in X$ sedemikian sehingga $f(a)=b$. Artinya, pada relasi $g$, setiap anggota $Y$ memiliki pasangan di $X$.

Lebih lanjut, setiap anggota $Y$ dipasangkan dengan tepat satu anggota $X$, karena $f$ adalah fungsi injektif. Dengan demikian, $g$ merupakan sebuah fungsi, di mana $g(b)=a$ jika dan hanya jika $f(a)=b$.

Untuk menunjukkan bahwa $g$ invers dari $f$. kita perlu menunjukkan bahwa$$f \circ g = I_Y \text{ dan } g \circ f = I_X$$

Di mana $I_X$ dan $I_Y$ secara berturut-turut menyatakan fungsi identitas pada himpunan $X$ dan $Y$. Fungsi identitas pada $X$, adalah fungsi yang memetakan setiap anggota $X$ dengan dirinya sendiri. Dengan kata lain, $I_X(a)=a$ untuk setiap $a \in X$.

Pertama, kita akan menunjukkan $f \circ g=I_Y$. Diambil $b \in Y$ sebarang, dengan $g(b)=a$ untuk suatu $a \in X$. Berdasarkan definisi fungsi $g$, diperoleh $f(a)=b$. Perhatikan bahwa$$(f \circ g)(b)=f(\textcolor{blue}{g(b)})=f(\textcolor{blue}{a})=b$$

Fungsi $f \circ g$ memetakan $b \in Y$ ke dirinya sendiri, sehingga$$f \circ g=I_Y \quad \ldots (1)$$

Berikutnya, kita perlu menunjukkan $g \circ f=I_X$. Diambil $a \in X$ sebarang, dengan $f(a)=b$ untuk suatu $b \in Y$. Berdasarkan definisi fungsi $g$, diperoleh $g(b)=a$. Perhatikan bahwa$$(g \circ f)(a)=g(\textcolor{blue}{f(a)})=g(\textcolor{blue}{b})=a$$

Fungsi $g \circ f$ memetakan $a \in X$ ke dirinya sendiri, sehingga$$g \circ f=I_X \quad \ldots (2)$$

Dari $(1)$ dan $(2)$, dapat disimpulkan bahwa $g$ adalah invers dari fungsi $f$. Dengan demikian, terbukti bahwa $f$ mempunyai invers.


Sifat 8

Jika $f:X \to Y$ mempunyai invers maka $f$ adalah fungsi bijektif.

Bukti. Misalkan $g:Y \to X$ adalah invers dari $f:X \to Y$. Untuk membuktikan bahwa $f$ fungsi bijektif, perlu ditunjukkan bahwa $f$ fungsi surjektif sekaligus injektif.

Pertama, kita akan menunjukkan bahwa $f$ fungsi surjektif. Diambil $b \in Y$ sebarang, dengan $g(b)=a$ untuk suatu $a \in X$. Perhatikan bahwa$$b=I_Y(b)=(f \circ g)(b)=f(g(b))=f(a)$$

Diperoleh $b=f(a)$, untuk suatu $a \in X$. Dengan demikian, $f$ adalah fungsi surjektif.

Berikutnya, kita perlu menunjukkan bahwa $f$ fungsi injektif. Diambil $a,b \in X$ sebarang, dengan $f(a)=f(b)$. Perhatikan bahwa$$\begin{aligned}f(a) &= f(b) \\g(f(a)) &= g(f(b)) \\(g \circ f)(a) &= (g \circ f)(b) \\I_X(a) &= I_X(b) \\a &= b\end{aligned}$$

Diperoleh $a=b$. Dengan demikian, $f$ adalah fungsi injektif. Jadi, dapat disimpulkan bahwa $f$ adalah fungsi bijektif.


Demikian bahasan mengenai fungsi bijektif, fungsi surjektif, dan fungsi injektif. Semoga bermanfaat. 🙂